marți, 1 martie 2011

Puncte de extrem si puncte de inflexiune



Bine v-am gasit in 2011! Va dorim un an excelent si mult succes la examene!
Pentru cei care se pregatesc pentru examenul de bacalaureat la matematica, va prezentam cateva consideratii teoretice despre determinarea punctelor de extrem si a punctelor de inflexiune pentru o functie.

Fie f: (a, b) -> R o functie de doua ori derivabila si x un punct din (a, b).
1. Daca  derivata f' se anuleaza in x si isi schimba semnul, atunci x este punct de extrem local pentru f, si anume:
     a) Daca derivata f' este negativa la stanga lui x si pozitiva la dreapta lui x, atunci punctul x este punct de minim local al functiei f;
     b) Daca derivata f' este pozitiva la stanga lui x si negativa la dreapta lui x, atunci punctul x este punct de maxim local al functiei f.

Observatii.
Conditia ca derivata f' sa isi schimbe semnul in punctul x este esentiala; nu este suficient doar sa se anuleze in x. De exemplu, f: R -> R, f(x) = x^3, f'(x) = 3x^2. f'(0) = 0. Dar x = 0 nu este punct de extrem deoarece f' nu isi schimba semnul in x = 0. Asadar, conditia f'(x) = 0 nu implica nu necesitate ca x este punct de extrem.
Daca x este punct de extrem, atunci f'(x) = 0.
2. Daca derivata a doua f'' se anuleaza in punctul x si isi schimba semnul in x, atunci x este un punct de inflexiune pentru functia f. Din nou, shimbarea semnului este o conditie esentiala.
3. Daca derivata f'(x) > 0 pentru orice x din intervalul (a, b), atunci f este strict crescatoare pe intervalul (a, b).
4. Daca derivata f'(x) < 0 pentru orice x din intervalul (a, b), atunci f este strict descrescatoare pe intervalul (a, b).

5. Daca a doua derivata f''(x) > 0 pentru orice x din intervalul (a, b), atunci f este convexa pe intervalul (a, b).
6. Daca f''(x) < 0 pentru orice x din intervalul (a, b), atunci f este concava pe intervalul (a, b).
7. Fie x0 un punct de extrem local al functiei f.
Daca f''(x0) > 0, atunci x0 este punct de minim local pentru f.
Daca f''(x0) < 0, atunci x0 este punct de maxmim local pentru f.

Exemplu.  Sa se determnine punctele de extrem ale functiei f: R -> R,  f(x) = sin(x).
Functia sin(x) fiind periodica cu perioada principala T = 2pi, este suficient sa studiem comportarea ei pe un interval de lungime T si sa adugam la final 2*k*pi (k - intreg) la solutiile obtinute. Vom analiza functia pe intervalul [0, 2*pi).
Avem f'(x) = cos(x).
Determinam radacinile primei derivate: f'(x) = 0 <=> cos(x) = 0 <=> x = pi/2, x = 3*pi/2.
Cum f'(x) = cos(x) este functie continua, ea pastreaza semn constant pe un interval in care nu se anuleaza.
f'(0) = 1 > 0 => f'(x) > 0 pentru x in [0, pi/2)
f'(pi) = -1 < 0 => f'(x) < 0 pentru x in (pi/2, 3*pi/2).
f'(3*pi/4) = sqrt(2) / 2 > 0 => f'(x) < 0 pentru x in (3*pi/2, 2*pi).
Rezulta ca x = pi/2 este punct de maxim al functiei sinus, iar valoarea maxima este sin(pi/2) = 1 si x = 3*pi/2 este punct de minim al functiei sinus, iar valoarea minima este sin(3*pi/2) = -1.
In fianl, punctele de extrem ale functiei sinus sunt (2k+1)pi/2, k intreg.

Pentru o lista cu derivatele functiilor si formule trigonometrice puteti citi articolul Pregatire Matematica bac 2011.

Graficul functiei sinus

9 comentarii:

  1. multumesc, dar ce-i cu comentariile anterioare? de ce nu le stergeti?

    RăspundețiȘtergere
  2. va multumesc...chiar mi-a fost de ajutor :3

    RăspundețiȘtergere
  3. foarte folositor. multumesc!

    RăspundețiȘtergere
  4. pretty helpfull.... multumim...

    RăspundețiȘtergere
  5. Bravo tata, mare matematician

    RăspundețiȘtergere